“树”是图论中的核心概念，特指连通且无环的图。而“树图”，就是“树”这一概念的图形化呈现，它的形态恰似一棵真实的树：从主干延伸出若干主枝，主枝继续分叉形成分枝，分枝再进一步分出更细小的分枝……直到最末端的分枝，我们称之为“树叶”。树图一般适合处理数量规模较小的情况。遇到数量较大的排列组合问题时，可以先对数字进行简化，再借助树图梳理思路、总结规律，是一种十分有效的解题策略。
- 基本思想
利用树状图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化，起到了“数形结合”中“形”的作用，从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合。
- 经典题型
例1.某单位要求职工参加20课时线上教育课程，其中政治理论10课时，专业技能10课时。可供选择的政治理论课共8门，每门2课时；可供选择的专业技能课共10门，其中2课时的有5门，1课时的有5门。问：可选择的课程组合共有多少种？
A.616 B.1848 C.5600 D.5656
【答案】D。解析：政治理论和专业技能课程均为10课时，政治理论选择5门，专业技能需要分情况讨论：
综上，根据分类相加原理，可选择的课程组合共有56+2800+2800=5656种，故答案为D。
例2.不相识的六名游客到一旅游点排队买每张50元的门票。其中三名女游客均有50元零钱，可直接购票，三名男游客只有百元人民币需找零，旅游点刚开门无法找零，这六人成功购票的顺序有（）种情况？
A.60 B.90 C.150 D.180
【答案】D。解析：门票价格为50元，因女游客有50元零钱，男游客只有100元需找零，故第一名游客一定为女游客，第二名游客可男可女，以此类推，如图所示：
综上，根据分类相加理论，六人成功购票的顺序总共36+36+36+36+36=180种，故答案为D。
例3.某公司新近录用五名应聘人员，将分别安排到产品开发、管理、销售和售后服务这四个部门工作，每个部门至少一人。若其中有两人只能从事销售或售后服务两个部门的工作，其余三人均能从事四个部门的工作，则不同的选派方案有：
A.12种 B.18种 C.36种 D.48种
【答案】D。解析：设五名应聘人员分别为甲、乙、丙、丁、戊，其中甲和乙只能从事销售或售后服务两个部门的工作，则根据题意分类讨论如下：
①甲、乙分别安排到不同部门（一个在销售部门，另一个在售后部门），其余3人全部安排到产品开发和管理两个部门；
②若甲、乙都安排到同一部门（同时在销售或售后服务部门），其余3人分别安排到剩余三个部门，每个部门1人；
③若甲、乙分别安排到不同部门（一个在销售部门，另一个在售后部门），其余3人有2人安排到产品开发和管理两个部门，剩余1人安排到销售或售后部门。
综上，根据分类相加原理，不同的选派方案共有12+24+12=48种，答案为D。
“以数辅形”、“以形助数”的数形结合思想，有助于深化对知识的“识记与理解”，并将复杂的计数问题转化为灵活变通的形式。
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